Architecton: Proceedings of Higher Education №4 (16) December, 2006

Theory of architecture

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВЕ

Abstract

Математические методы в последнее время активно проникают в различные сферы человеческой деятельности, в том числе происходит математизация наук, связанная с возрастающими темпами развития и расширениями границ каждой конкретной науки, а также с расширением границ самой математики [3]. Ее применение оказывается удивительно плодотворным, поскольку, используя ее опыт, возможно аккумулировать и систематизировать знания любой практической деятельности человека. К.Маркс, например, говорил, что «наука достигает совершенства лишь постольку, поскольку ей удается пользоваться математикой» [5]. Однако нельзя забывать о том, что математика, как любое мощное средство, не всегда может быть использована во благо.

В чем же заключается эта «мощь»? Дело в том, что математика позволяет абстрагироваться от конкретного объекта исследования, выделяя лишь его существенные свойства и количественные характеристики. Герман Вейль так отзывается об этом явлении: «Математики имеют дело только с каталогом знаков; они ведут себя как человек в справочном отделе библиотеки, которого не интересует, какие книги или фрагменты интуитивно постигаемого многообразия запечатлены с помощью знаков каталога… Так, заменяя точки их знаками, математик превращает исходное многообразие в знаковую конструкцию…»[1, с.15]. Математический метод позволяет любую проблему представить в виде задачи, определить ее данные и неизвестные, сформировать алгоритм решения, получить на его основании определенные выводы. Стоит отметить, что существуют несколько проблем, связанных с применением этого метода в других науках. Во-первых, исследование построенной математической модели какого-либо объекта или явления может быть затруднено в связи с отсутствием метода исследования, либо с тем, что он (метод) находится на стадии разработки. Во-вторых, может оказаться, что модель для выбранной области знаний невозможно построить. В-третьих, могут возникнуть определенные трудности в использовании модели из-за ее громоздкости, связанной с колоссальным количеством составляющих элементов и сложных связей между ними. В-четвертых, предложенная модель может неверно описывать явление или объект. Верификация же математической модели затруднительна вследствие отсутствия понятийного аппарата, содержащего родовые определения исследуемой области знаний и самой математики.

В процессе математизации наук в основном используются три метода: математическое моделирование, формализация и аксиоматизация.

Математическое моделирование – это теоретико-экспериментальный метод познавательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов – математических моделей [6]. Это эффективный метод решения и анализа задач, позволяющий объединять разобщенные элементы в системы с логически обоснованными взаимосвязями. При моделировании происходит взаимопроникновение различных областей знания с возможностью дальнейшего симбиоза привлеченных наук. Математическая модель – действенный способ познания явления, прогнозирования и управления его развитием.

Алгоритм создания математической модели может быть представлен следующим образом [3]:

• абстрагирование, некоторое упрощение предметной области, выделение только существенных для исследователя черт рассматриваемого явления;

• выявление необходимых параметров или характеристик процесса, которые и составляют предмет дальнейшего исследования;

• выявление существенных взаимоотношений между этими параметрами;

• поиск нужного математического аппарата, который будет описывать все исследуемые параметры и отношения между ними;

• применение математического аппарата к этому объекту для описания исходного явления.

Иначе можно сказать, что происходит «перевод» реального явления с языка оригинала в математические понятия, структуры, способные сохранить отношения (связи) между элементами изучаемого явления. Полученные результаты после проведения всех необходимых операций декодируются, что дает возможность получить качественно новую информацию об объекте исследования.

Формализация является методом математизации, который заключается в замене объектов реальности и их взаимосвязей набором символов некоторого искусственного языка. Формализация с латинского языка переводится как «вид, образ». Философский словарь разъясняет термин «формализация» как уточнение содержания познания за счет сопоставления объектам действительности материальных конструкций, обладающих относительно устойчивым характером и позволяющих в силу этого выявлять и фиксировать существенные и закономерные стороны рассматриваемых объектов [2]. Иначе формализацию можно охарактеризовать как способ кодирования информации об исследуемом процессе (явлении, объекте).

Еще одним методом математизации является аксиоматизация. Ее суть заключается в том, что для исследования какой-либо области знаний выделяется набор аксиом (простейших суждений, не требующих доказательств в силу своей простоты и очевидности), из которых логически выводится любое утверждение данной области. Важным условием использования данного метода является простота и компактность набора аксиом. Примером такого метода является Евклидова геометрия.

Следует отметить, что аксиоматизацию нельзя воспринимать как гарантию правильности фактов, доказанных в теоремах (это слишком упрощенно), гарантию логичности и «стройности» теории. Сушков В.И. говорит следующее: «Мы должны изменить отношение к аксиоматизации… По традиционному математическому верованию теория состоит из основ - определений и аксиом…, и теорем… Истинность следствий получают с помощью "логики"… В математической логике к определениям и аксиомам добавляют еще и правила вывода, - это результат сомнений в способностях "логики". На самом деле при практическом построении аксиоматизированной теории исходят из обратной последовательности: сначала имеют результаты, которые хотят видеть следствием небольшого числа фактов, а потом для них подбирают систему определений и аксиом. Т.е. первоначально аксиоматизируемая наука проходит стадию синтеза, индукции. Это – главное в аксиоматизации.» [4].

Одной из главных проблем использования метода аксиоматизации является момент интуитивного выбора аксиом, на которых зиждется дальнейшее исследование. Стоит отметить, что на данный момент каких-либо рекомендаций по выбору родовых определений в области градостроительства, наиболее удачного их синтезирования и использования нет.

Таким образом, математизации свойственно два рода процедур: конструктивный и аксиоматический [1, с.17].

Как видно из всего вышеперечисленного, математизация представляет собой достаточно сложный процесс, который может привести как к положительному, так и к отрицательному результату. Почему же стоит попытаться применить методы математизации в градостроительной науке?

Устойчивая тенденция к росту и ускоряющиеся темпы урбанизации превращают полисы в плотно застроенные образования, сложные для восприятия и ориентации, а также расширяется спектр функций и «обязанностей» города, возрастают требования к качеству их исполнения. В результате происходящих метаморфоз мегаполис превращается в сложно регулируемый организм. Вследствие этого возникает необходимость в радикальных способах градоформирования, позволяющих рационально использовать территории под застройку с учетом факторов, влияющих на нее. Другими словами, градостроительство находится в поиске новых методов анализа и регулирования развития городской структуры. Отсюда возникает гипотеза, что решение данной задачи можно найти в других смежных науках, учитывая междисциплинарный характер градостроительства.

Математизация обладает способностью находить новые факты, несмотря на степень изученности какого-либо явления или объекта. «Пропуская» полученные данные некоторой области знаний (в том числе градостроительства) через математику, можно получить иные их значения, скрытые ранее способы применения (или абсолютно другие); либо по-другому «заиграют» связи между ними, изменив свое качество. Таким образом, формализация градостроительства как один из методов математизации, позволит иначе взглянуть на проблему развития современного города, то есть даст возможность четко и правильно сформулировать ее как задачу, оценить корректность условия, определить известные и неизвестные, сформировать алгоритм решения. Важным шагом этого действия является создание соответствующего понятийного аппарата, отображающего градостроительные определения и явления, а также результаты мышления в точных понятиях или формулах. Это позволит элементы объективной реальности (города) представить в виде математических множеств, но при формализации необходимо внимательно отнестись к взаимосвязям «переводимых» элементов, сохраняя их значение и качество.

Сложным моментом этого процесса является абстрагирование – выявление основных свойств объекта исследования, характерных для его класса. Применять такое обобщение данных следует аккуратно, поскольку могут оказаться утраченными не только отвлекающие внимание (лишние, незначимые) элементы, но и те, которые играют важную роль.

С другой стороны, строгость и точность формулировки процессов развития городской структуры (благодаря формализации) может оказаться полезной при дальнейших исследованиях этой области знаний. Метаязык градостроительства, возникновение которого вполне обосновано при математизации данной науки, может стать базисом, «отправной точкой» нового направления исследований развития города.

Что же касается аксиоматизации, ее применение вполне возможно, потому что градостроительство как наука в основе также имеет набор простейших понятий и аксиом, на основе которых посредствам логических операций могут быть выведены истинные утверждения. Основной задачей в этом случае оказывается формулировка этих аксиом и метод их отбора для развития теории.

Город заключает в себе большое количество исходной разнообразной информации. Он является сложной динамической системой, характеризующейся стремлением к самоорганизации и саморазвитию. Из сказанного можно сделать вывод о том, что для описания и исследования таких сложносоставных объектов как полис и расширения границ градостроительства следует применять систему моделей и методов.

Поскольку город является многоэлементным организмом, необходимо выделить основные его составляющие – инварианты. Например, с точки зрения функций города, можно определить и обозначить с помощью букв следующие компоненты:

A – жилье

C – производство

О – общественные сооружения

B – торговля

D – обучение

F – рекреационные зоны

E – развлечение

G – обслуживание

Тогда формулу полноценного пространства городской среды с точки зрения функции можно записать так:

 R =(A•х₁+B•х₂+C•х₃+D•х₄+E•х₅+F•х₆+G•х₇)•F

где х = f(w, h, к, v, t, m, s, q, е, p, i, с)

w – характер эксплуатации (постоянный, временный, сезонный),

h – этажность (малоэтажное, средней этажности, многоэтажное, высотное),

к – конструктивное решение,

v – объемно-пространственное решение,

t – частота спроса (повседневная, периодическая, эпизодическая),

m – материалы ограждающих конструкций,

s – площадь застройки,

q – экономическая выгодность,

е – эстетическая ценность,

p – эффективность использования (рациональность, многофункциональность),

i – транспортная инфраструктура,

с – стоимость земли.

Проблемы градостроительства носят междисциплинарный характер, поэтому количество факторов, влияющих на организацию структуры города, огромно. В связи с этим при создании модели происходит частичная утрата информации, из-за чего, в свою очередь, анализ получается неполным с большой вероятностью ошибки.

В качестве примера рассмотрим участок улицы Куйбышева в границах улиц 8 Марта – Белинского (рис. 1).

Рис.1

Рис. 2
 

Данная территория претендует на роль делового центра, что становится очевидным из анализа её функциональной насыщенности и пространственного положения (рис. 2). Если упростить объект изучения, т.е. абстрагировать, тогда формулу участка можно записать следующим образом:

R = (B•х₂+ C•х₃+D•х₄+E•х₅+F•х₆+G•х₇+Х)•F,

где Х – пустующие участки, которые необходимо насытить какими-то функциями для получения полноценного пространства. Символ «С», означающий «производство», на данной территории «кодирует» офисы различных организаций, фирм, правительственные учреждения, поскольку «деловая» сфера деятельности также является «производством», т.е. местом приложения труда. Другими словами, инвариантами изучаемого пространства являются следующие объекты: объемы зданий, рекреационные зоны, инженерные коммуникации, транспортные артерии.

Каждый инвариант объекта представляет собой более простую задачу, которая является составной частью изначальной проблемы. Выделив их и применив метод изоляции, заключающийся в том, что интересующая в данный момент деталь (задача, часть задачи, часть условия) «изымается» из «окружения», т.е. рассматривается отдельно, без учета влияния внешних воздействий (других данных, условий, задач), можно решать каждый отдельно, а затем, применив комбинацию и перегруппировку, вновь объединить, что позволит получить решение проблемы в целом или «даст толчок» к последующим рассуждениям. Иначе говоря, такой подход к решению задачи дает возможность рассмотреть её с разных позиций, благодаря чему «эволюционирует» (развивается, изменяется) отношение к задаче, меняется ее восприятие.

Выделим такой элемент поставленной задачи как транспортные артерии. В результате анализа участка можно сделать вывод о том, что данную территорию обслуживают все виды городского транспорта: трамвай, троллейбус, автобус, метро, маршрутные такси. Плотность автомобильного потока также высока. Эти эмпирические данные иначе можно назвать условием задачи, известными. Предположение о том, что исследуемый объект может стать деловым центром, является латентным (скрытым) условием, поскольку оно косвенно влияет на дальнейшее развитие сложившейся транспортной сети.

Полученные данные свидетельствуют о необходимости развития магистрали на данном участке.

Таким образом, на данном этапе решения было применено абстрагирование для «упрощения» объекта исследования, изоляция для выделения более простой задачи, были выявлены необходимые параметры, которые составляют предмет дальнейшего исследования, и существенные взаимоотношения между этими параметрами.

Следующий шаг – это поиск необходимого математического аппарата для описания полученных элементов, т.е. формализация, подбор аналогичных задач или алгоритмов решения. Другими словами, необходимо предложить варианты развития улицы Куйбышева на исследуемой территории, используя накопленные знания в этой области науки. Решением могут быть такие варианты, как увеличение количества полос за счет расширения дороги или выноса с данной территории трамвайной линии, а также использование многоуровневости пространства, т.е. создание тоннеля или эстакады (рис.3). Посредством проведения экономических расчетов из предложенных решений выделяется оптимальный. Оставшиеся задачи решаются аналогично.

 

Рис. 3
 

Если вновь обратиться к основной проблеме, можно заметить, что из формулы функциональной насыщенности участка «выпал» элемент «А» – жилье, что можно объяснить высокой плотностью застройки данной территории и «функциональной ролью» – деловой центр. Очевидно, что для получения полноценного пространства необходимо его «вернуть». Учитывая известные и латентные данные, можно предложить следующее решение. Поскольку плотность застройки данной территории и концентрация населения высоки, имеет смысл говорить о возведении на пустующих пространствах Х высотных зданий (небоскребов), которые позволили бы создать дополнительные жилые, торговые и офисные площади, а также приняли на себя роль высотных доминант, фиксирующих центр города. Дополнительным положительным моментом такого решения (находящимся в латентной форме) является возможность «оттенить» объем телевизионной башни. Тогда формула приобретет исходный вид:

R =(A•х₁+B•х₂+C•х₃+D•х₄+E•х₅+F•х₆+G•х₇)•F.

Из всего вышесказанного становится очевидной необходимость применения математических методов, способных упорядочить и классифицировать элементы, составляющие исследуемый объект, выявить и проанализировать их взаимосвязи, степень влияния друг на друга, возможности решения градостроительных задач, существующих на данный момент и возможных в будущем.

References

1. Вейль Г. Математический способ мышления. /под ред. Б.В. Бирюкова, А.Н. Паршина; пер. с англ. Ю.А. Данилова. – М.: Наука, 1989. – С. 6–24

2. Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова. – 4-е изд. – М.: Политиздат, 1981. – 445 с.

3. Рыбалов А.Н. Математизация науки и ее возможности. http://revolution.allbest.ru/mathematics/00005632_0.html 

4. Сушков В. И. О важнейших целях преподавания математики во ВТУЗе и способах их достижения. Ч. 2. Какие цели на XXI век поставили бы Д. Гильберт и Ф. Клейн перед математическим конгрессом 2002 года в Пекине. http://www.spbstu.ru 

5. Гносеологические основы математизации науки. http://library.ntu-kpi.kiev.ua/html/arh_ntuu/glushkov/Gnoseolog_osnovy.htm 

6. Математическое моделирование системных элементов. http://info.iu4.bmstu.ru 

Citation link

Витюк Е.Ю. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВЕ [Электронный ресурс] /Е.Ю. Витюк //Архитектон: известия вузов. – 2006. – №4(16). – URL: http://archvuz.ru/en/2006_4/11 

Лицензия Creative Commons
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons "Attrubution-ShareALike" ("Атрибуция - на тех же условиях"). 4.0 Всемирная