Architecton: Proceedings of Higher Education №4 (16) December, 2006

Theory of architecture

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СХЕМ КАНОНИЗИРОВАННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ СОВЕРШЕННОГО ЧЕЛОВЕКА

Abstract

Антропометричность зданий в границах эргономики – есть неотъемлемая часть в композиции архитектурного объекта. Наряду с этим существует мнение, что при решении фасадов и планов антропометричность должна быть учтена не только в деталях, предполагается, что антропометричность, в определенной степени антропоморфность, является естественным состоянием архитектурного памятника. По утверждению исследователя древнеегипетских храмов Курциуса, в здании мы воспринимаем гигантский, претворенный в иной материал, образ человека [11].

В чертежах и рисунках теоретиков пропорционирования данное положение отражает совмещение фасадов и планов с изображением совершенного, по мнению теоретиков, человека. К числу теоретиков пропорционирования, авторов подобных совмещений, можно отнести Франческо ди Джорджио [15] с его знаменитым фасадом церкви, совмещенным с изображением человека; проф. Г.Гримма [5], объединившего изображение статуи Дорифора с частью фасада палаццио; И.Ш.Шевелева [21], разместившего на фасаде Парфенона десятикратно увеличенное изображение Посейдона; Г.М.Скуратовского [18], совмещение изображения совершенного человека которого с фасадами древнегреческих храмов подобно работе И.Ш.Шевелева.

Достижением авторов указанных совмещений является определение соответствия пропорций здания пропорциям человека. Одновременно, при определении пропорций совершенного человека, теоретиками пропорционирования были выполнены совмещения изображений человека с некоторыми геометрическими фигурами. Это круг, квадрат и треугольник, определенные натурфилософами как графическое выражение огня, воздуха, воды и земли [16], что, возможно, и является смыслом символизма.

В соответствии с историческими сведениями по теории архитектуры, первой геометрической фигурой, совмещенной с изображением человека, был квадрат, точнее сетка квадратов Древнего Египта. Возможно, это связано с необходимостью деления земель на равные участки, о чем пишет Д.Пидоу [17]. Древнеегипетское изображение фараона Нармера (рис.1.1) совмещено с сеткой квадратов, общей площадью 22*14 [15]. Присутствует сетка квадратов и на изображении человека античного Тибета, которая объединена в один квадрат со стороной равной росту человека (рис. 1.2). Сетка квадратов тибетского канона, по К.М.Герасимовой [4], взаимоувязана с геометрией расположения внутренних органов человека античного Тибета. Геометрия внутренних органов тибетского канона включает множество треугольников, образованных пересекающимися прямыми. Автономно выделенный треугольник на изображении совершенного человека появляется в XV – XVI веках. Одним из первых авторов, который обозначил присутствие треугольника в геометрии человека, был Леонардо да Винчи. В своих записках Леонардо да Винчи пишет: «Если вы раздвинете ноги так широко, что ваш рост уменьшится на 1/14, и разведете в стороны поднятые руки так, что средние пальцы окажутся на уровне макушки, то да будет вам известно, центр распростертых конечностей окажется в пупке, а пространство, ограниченное ногами будет равносторонним треугольником» [2]. (Рис. 2.7) Альбрехт Дюрер совмещает изображение человека с равнобедренным треугольником, опрокинутым острием вниз [16]. Высота такого треугольника соответствует росту человека, а угол у вершины соответствует 53,2⁰ (рис. 3.10).

Основоположник теории архитектуры – римский архитектор V века Витрувий [3] – первым (по известным автору работам теоретиков пропорционирования) совместил изображение человека с кругом. Это знаменитый «квадрат древних», на котором присутствует квадрат со стороной равной росту человека и круг, диаметр которого равен стороне квадрата (рис.1.3). На принадлежность «квадрата древних» перу Витрувия указывает Холл М.П. в энциклопедическом изложении массонской, герметической, каббалистической и розенкрейцеровской символической философии [19, 20]. Существует второй рисунок Витрувия, включающий квадрат со стороной, равной росту человека, и круг, диаметр которого равен расстоянию между кончиками пальцев вытянутых рук и ног человека. В данном случае центр круга не принадлежит точке пересечения диагоналей квадрата, а смещен на некоторое расстояние вверх по оси зеркальной симметрии (рис. 1.4). Принадлежность этого рисунка определяет сербохорватский исследователь пропорций Д.Петрович [15]. Круги, с диаметрами: первый – равный росту человека с раздвинутыми шире плеч ногами и второй – больший по диаметру на ладонь человека, и звездчатый пятиугольник, размещены на канонизированном изображении совершенного человека времен Византии (рис. 2.6). Круг, объединяющий крайние точки конечностей раздвинувшего ноги человека, размещен на канонизированном изображении, выполненном Леонардо да Винчи (рис.2.7).

Канонизированные изображения совершенного человека, выполненные теоретиками пропорционирования античности, не будут охвачены полностью, если не учитывать канон Поликлета. Статуя Дорифора, выполненная Поликлетом – это расслабленно идущий человек, формы которого, на первый взгляд, не подчинены геометрии (рис. 2.5). Но в соответствии с разработками Г.Гримма, вертикальные членения статуи Дорифора подчинены пропорции «золотое сечение»* [5], и эти пропорции созвучны делению по высоте фасада здания времен эпохи Возрождения. Геометрия сегментов окружностей, образующих синюю и красную шкалы пропорций совершенного человека, была определена Ле Корбюзье [12] в Модулоре. Данные шкалы подчинены пропорциональной закономерности «золотое сечение» (рис. 3.11). Современный вариант совершенного человека - это изображение, выполненное А.П.Лосевым, на котором указаны характерные сечения тела человека по высоте. Данные сечения соответствуют отметкам на шкалах Модулора Ле Корбюзье (рис. 3.12).

В связи с тем, что на канонизированных изображениях совершенного человека, выполненных Ле Корбюзье и А.П.Лосевым, а также на изображении статуи Дорифора, копированной из монографии Г.Гримма, отсутствует геометрия, при исследовании данных изображений применен метод моделирования. Упрощенной моделью принята геометрическая фигура – прямоугольник, ограничивающий тело по крайним точкам. Размеры прямоугольника, соответствующие основным габаритам изображений, определены формально-геометрическим методом (рис. 2.5).

В соответствии с антропометричностью зданий и вариантами совмещения фасадов зданий с изображениями человека, имеет смысл считать, что геометрия, определяющая композицию, а значит и пропорции изображения человека, соответствует пропорциям зданий. На основании данного вывода, по мнению автора, является возможным объединение геометрии, размещенной на изображениях совершенного человека (выполненных разными авторами в различные периоды времени) в одну геометрическую конструкцию. Гипотетически предполагается, что такое объединение позволит выявить пропорции общие для разных канонов и, соответственно, для архитектурных памятников разных времен и народов, то есть пропорциональные закономерности природного характера.

Совмещение геометрии, размещенной на канонизированных изображениях совершенного человека теоретиками пропорционирования, и модели изображений, на которых геометрия отсутствовала, выполнено на основании применения методов анализа и синтеза [13]. До начала анализа изображения человека с геометрическими фигурами были приведены к одному размеру, систематизированы и сведены в таблицу, что осуществлено благодаря возможностям компьютерной программы Archi CAD [9]. Далее, в отдельный ряд была выделена геометрия, присутствующая на изображениях, из которой синтезирована геометрическая конструкция, включающая фигуры, размещенные на всех изображениях, с сохранением пропорциональных отношений.

Множественность пересечений фигур в полученной в результате анализа и синтеза геометрии теоретиков пропорционирования геометрической конструкции первоначально была воспринята как хаос. Но в результате некоторого визуального исследования закономерной показалась мысль о значимости не пересечений линейных геометрических фигур, а наложения плоскостей, ограниченных данными фигурами. В этом контексте было выявлено приблизительное равенство площадей некоторых геометрических фигур, вновь образованных в результате наложения площадей совмещаемых фигур в синтезируемой геометрической конструкции. Особенное внимание в данном случае привлекло множественное пересечение линейных фигур в верхнем левом углу – это точка пересечения круга, диаметр которого равен стороне квадрата, соответствующей росту совершенного человека, с прямоугольником древнеегипетского канона, вертикальная ось которого смещена относительно геометрической оси. К данной точке близка наклонная линия, которая соответствует стороне треугольника, размещенного на изображении совершенного человека, выполненном Альбрехтом Дюрером. Указанную точку пересекает линия, соединяющая точку пересечения центральной вертикальной оси и опорной стороны квадрата с точкой пересечения круга Леонардо да Винчи с верхней стороной квадрата (верхняя и опорная стороны квадрата приняты в соответствии с размещением изображения человека). В этом случае площади двух сегментов: одного, отсекаемого кругом от квадрата до вертикали прямоугольника, соответствующей стороне древнеегипетского канона, и второго, отсекаемого от круга вышеуказанным прямоугольником до линии, указывающей высоту местоположения пупа тела совершенного человека, зрительно равны (рис. 4). Для удобства восприятия вышеуказанная геометрическая конструкция зеркально отражается. Это связано с утверждением Р.Арнхейма о том, что оптимальным для перемещения взгляда является движение глаза при рассмотрении картины слева – внизу, справа – верху [1] и присутствует зеркальная симметрия геометрической конструкции – синтеза геометрии теоретиков, без учета оси изображения человека древнеегипетского канона, несовпадающего с осью всего рисунка (рис. 5

Далее, для уточнения равенства площадей, выполнен аналитический расчет (см. приложение А). В результате аналитического расчета равновесие площадей достигнуто благодаря замене круга, диаметр которого равен росту человека на логарифмическую спираль, пересекающую верхнюю и нижнюю точки изображения человека. Радиус указанной спирали в четверти изменяется в 0,786 раз, что соответствует квадратному корню из 0,618. Это значение пропорции «золотое сечение» (рис. 6).

Заключение 

Таким образом, обобщающим элементом для геометрии, размещенной теоретиками пропорционирования на канонизированных изображениях человека, как «меры всех вещей», является логарифмическая спираль, построенная по значениям пропорциональной закономерности «золотое сечение». Данная геометрическая фигура является отражением физических составляющих тела человека земли, воды, воздуха и огня. В соответствии с антропометричностью (антропоморфностью) зданий, логарифмическая спираль – есть геометрическое отражение физических составляющих памятника архитектуры.

В связи с тем, что геометрия, совмещенная с изображениями совершенного человека носит физический смысл, а расчет равенства площадей в синтезированной геометрической конструкции выполнен на основании определения пропорций геометрических фигур формально-геометрическим методом, вывод о физическом обосновании пропорциональной закономерности «золотое сечение» предполагает физико-математическое обоснование [6,7]. Определение физико-математического обоснования позволит осуществить взаимосвязь теории пропорционирования с фундаментальными науками, что поднимает исследования в области архитектуры на новый уровень.

 

---

 

Приложение А

Наклонная линия геометрии Франческо ди Джорджио отклонена от вертикали роста человека на 31⁰, что следует из простого расчета. Линия диагонально пересекает прямоугольник из пятнадцати квадратиков, в который вписано тело совершенного человека, отношение сторон которого составляет 3/5 (на весь рост человека 4,2 / 7), что равно 0,6 = tg 31⁰. Ось симметрии квадрата, сторона которого равна росту человека, совпадающая с осью симметрии рассчитываемой геометрической конструкции, пересекает данную наклонную на расстоянии стороны одного квадратика по горизонтали. Пересечение данной линии с большим квадратом, сторона которого равна росту совершенного человека, дает точку, через которую проходит окружность Леонардо да Винчи. Если соединить полученную точку с точкой пересечения нижней стороны квадрата с его вертикальной осью симметрии, то образуется линия, созвучная наклонной линии геометрии Альбрехта Дюрера (тангенс 0,5 приблизительно равен 26⁰) и отличная от нее на угол в 1⁰.

Угол наклона вновь проведенной линии составляет приблизительно 25⁰, что следует из геометрии Франческо ди Джорджио. Отношение квадратов, образующее эту линию, составляет 4,2 / 7, смещенное на 1 квадрат, что равно 0,457, или тангенс 25,5⁰. Данная линия пересекает окружность, вписанную в квадрат таким образом, что площади, ограниченные квадратом, кругом, вертикалью, проходящей через точку пересечения круга и наклонной, и горизонталью, которой принадлежит центр круга, размещенного на первом рисунке Витрувия, предположительно равны. Одновременно формально-геометрическим методом определена принадлежность этой точки вертикали стороны древнеегипетского канона, размещенного таким образом, что ось тела человека канона совпадает с осью окружности, вписанной в квадрат (рис. 4).

На основании вышеуказанных геометрических построений и в связи с необходимостью приведения полученных площадей к равновесию выполняется аналитический расчет.

Действие 1.

Высота квадрата, основы полученной геометрической конструкции, приводится к 1, тогда значение стороны одного квадратика геометрии Франческо ди Джорджио равно 1/7 = 0,143. Далее, из подобия определяется величина части радиуса вписанной в квадрат окружности, отсекаемой линией, наклоненной на 31⁰

0,143 / 0,6 = 0,238, 0,5 – 0,238 = 0,262, 0,262*0,6 = 0,157.

Действие 2.

Для нахождения исследуемых площадей в центр вписанной окружности помещается начало координат и решается система из двух уравнений

х = 0,157 + 0,6у и х² + у² = 0,5² = 0,25.

(0,157 + 0,6у)² + у² = 0,25

0,157² + 2*0,157*0,6у + 0,36у² + у² = 0,25

0,025 + 0,188у + 1,36у² = 0,25

1,36у² + 0,188у – 0,225 = 0

у₁ = 0,343, у₂ = -0,482.

В связи с тем, что сравнение площадей выполняется в сегменте окружности без отрицательных координат, как решение, принимается первое значение у. Далее определяется

х = 0,157 + 0,6у = 0,157 + 0,6*0,343 = 0,363.

Находится тангенс угла наклона линии, исходящей из начала координат (центра вписанной окружности) и проходящей через точку пересечения окружности и наклонной в 31⁰. Это тангенс отношения 0,343 / 0,363 = 0,945 или 43⁰.

Действие 3.

Площади сегментов, отсекаемые от квадрата кругом до стороны прямоугольника со смещенной вертикальной осью и от круга указанным прямоугольником и линией, определяющей высоту местоположения пупа совершенного человека, будут соответственно равны

Угол наклона линии, исходящей из начала координат и пересекающей точку с координатами х = 0,486 и у = 0,118 равен 13⁰.

Действие 4.

Сравнение полученных площадей

Действие 5.

Приведение площадей к равенству. Принимается равенство площадей S2 = 0,017, где возможна неизменяемость значений х и у

S₁ = S₂ = 0,017.

S1 = 0,017 = 0,363*r1 – 0,363*0,343 / 2 - * r1*47/360,

где r₁ – величина радиуса участка кривой до точки, соединяющей сравниваемые площади.

3,14*0,131* r₁² – 0,363* r₁ + 0,079 = 0,

r ₁₍₁₎ = 0,392 , r ₁₍₂₎ = 0,494.

Два значения радиуса кривой положительны, то есть верны. Это возможно если радиус кривой изменяется, в данном случае увеличивается. Закономерность изменения величины радиуса возможно проследить, если учесть изначальный радиус, который сохраняется в неизменяемой площади S₂.

Действие 6. Изменение величины радиуса в четверти координатной плоскости с положительными х и у равно r / r₁ = 0,392 / 0,5 = 0,784. Если учесть тот факт, что цифры, операции с которыми были произведены в первых пяти действиях, были иррациональными, то величина сравнения в третьей после запятой цифре не точна. В этом случае искомое изменение близко и совпадает с величиной изменения в четверти радиуса логарифмической спирали, построенной по закономерности «золотое сечение»*. Дополнением, подтверждающим такой вывод, является некоторое действие, выполнение которого полученную величину радиуса (r₁ = 0,392) размещает в габаритах квадрата. Описание данного действия приводится ниже.

В процессе геометрических построений и расчета равновесия площадей центр кривой из начала координат переместился в точку с координатами х = 0 и у = 0,118. Величина r1 = 0,392 превышает значение у = 0,382 по оси ординат, что, казалось бы, противоречит условию о размещении кривой в пределах роста совершенного человека по вертикали. Данное несоответствие решается поворотом осей координат на определенный угол. Угол поворота определяется с учетом сторон прямоугольного треугольника

0,392² – 0,382² = 0,088².

Тангенс 0,088 / 0,382 = 0,230 соответствует 13⁰. Этот угол соответствует углу наклона линии, проходящей через точки с координатами х₁ = 0 и у₁ = 0,118 и х₂ = 0,486 и у₂ = 0. И таким образом данная линия повернута на 13⁰ для кривой с центром в точке с координатами х₁ = 0 и у₁ = 0,118 (0,618 от роста человека) и радиусом, который изменяется в четверти в 0,786 раз. (Все построения см. рис. 6).

 

---

 

* пропорция «золотое сечение» присутствует тогда, когда «…меньший отрезок относится к большему так, как больший – ко всей длине прямой» [16], определена формально-геометрическим методом в изображениях многих объектов естественного и искусственного происхождения.

References

1. Арнхейм Р. Икусство и визуальное восприятие / Сокращ. перевод с англ. В.Н. Самохина. Общ. ред. и вступ. статья В.П. Шестакова. – М.: Прогресс,1974. – 392 с.

2. Леонардо да Винчи. Суждения о науке и искусстве. – СПб.: Азбука, 2001. – 704 с., ил. + вклейка (32 с.).

3. Витрувий М.П. Десять книг об архитектуре / Пер. с лат. Ред. и введ. А.В. Мигулина. – Л.: Соцэкгиз, Ленингр. отд-ние, 1936. – 341 с. с ил., 1 вкл. л. крас. ил.

4. Герасимова К.М. Памятники эстетической мысли Востока. Тибетский канон пропорций. Трактаты по иконометрии и композиции. Амдо, XVIII.– Улан-Удэ: Бурятское книжное издательство, 1971.

5. Гримм Г.Д. Пропорциональность в архитектуре. ОНТИ. – М.: Гл.ред.строит. лит-ры.– 1935. – 147с.

6. Дегтерева Л.Н. Математический анализ распределения давления в здании // Всесоюз. науч.-практ. конф. Сиб. арх.-худ. шк. НГАХА. – Новосибирск, 2001.– 23 с.

7. Дегтерева Л.Н. Определение красоты (некоторые физико-математические аспекты) // Труды НГАСУ, 2003.–Т.6.–  №4 (25).– 228 с.

8. Дегтерева Л.Н. Пропорциональность канонизированных изображений человека // НГАСУ. Тезисы докладов 63-й науч.-тех. конф. – Новосибирск, 2006. – 97с.

9. Дегтерева Л.Н. Систематизация знаний истории архитектуры при помощи компьютера // Проблемы качества подготовки специалистов : Междунар. науч. учеб.-метод. конф. 24-26 апреля 2001 г. – Усть-Каменогорск, 2001.

10. Иконников А., Степанов Г. Основы архитектурной композиции. – М.: Искусство, 1971. – 224 с., ил.

11. Искусство и культура древнего мира / Под ред. Казимежа Михайловского «Пирамиды и мастаба». – Изд-во «Аркада». Отпечатано в типографии Zaklady Graficzhe Dom Stowa Polskieso, Варшава, 1973 г. – 27 с., ил.

12. Ле Корбюзье. Архитектура ХХ века / Под.ред. К.Т. Тонуридзе. – М.: Прогресс, 1977.

13. Ламцов И.В., Туркус М.А., Кринский В.Ф. Элементы архитектурно-пространственной композиции. – М.,1934.

14. Мамардашвили М. Как я понимаю философию.– М.: Прогресс, 1990. – 363 с.

15. Объемно-пространственная композиция в архитектуре / Под общ. ред. А.В. Степанова, М.А. Туркуса. – М., 1975. – 92 с.

16. Петрович Д. Теоретики пропорций / Пер с сербохорватск М.Д. Сорокиной; под ред. Ю.Л. Сопоцько. – М.: Стройиздат,1979. – 193 с., ил.

17. Пидоу Д. Геометрия и искусство / Пер. с англ. Ю.А. Данилова; под ред. и с предисл. И.М. Яглома. – М.: Мир, 1979. – 332 с., ил.

18. Платон. Филет. Государство. Тимей. Критий. – М.: Мысль,1999.– 656 с.

19. Померанцева И.А. Роль системы пропорциональных соотношений в сложении канона в произведениях древнеегипетской пластики // Проблемы канона в древнем и средневековом искусстве Азии и Африки:  сб. ст.– М.: Наука, 1973. – 211–254 с.

20. Скуратовский Г.М. Искусство архитектурного пропорционирования. – Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАИ, 1997. – 184 с.

21. Холл М.П. Энциклопедическое изложение масонской, герметической, каббалистической и розенкрейцеровской символической философии – Новосибирск: ВО «Наука».Сибирская издательская фирма,1992.– т. 2. – 440 с. 

22. Шевелев И.Ш. Принцип пропорции: о формообразовании в природе, мерной трости древнего зодчего, архитектурном образе, двойном квадрате и взаимопроникающих подобиях. – М.: Стройиздат,1986. – 200 с.: ил.

Citation link

Дегтерева Л.Н. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СХЕМ КАНОНИЗИРОВАННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ СОВЕРШЕННОГО ЧЕЛОВЕКА [Электронный ресурс] /  Л.Н. Дегтерева //Архитектон: известия вузов. – 2006. – №4(16). – URL: http://archvuz.ru/en/2006_4/9 

Лицензия Creative Commons
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons "Attrubution-ShareALike" ("Атрибуция - на тех же условиях"). 4.0 Всемирная