Во второй половине ХХ века произошел пересмотр архитекторами роли математики в проектировании. Пример биологии, лингвистики, социологии – дисциплин, пытающихся перейти на математические рельсы, которые позволяют ускорить развитие науки, показал, что новые (относительно новые, поскольку существует определенное запаздывание между разработкой метода в математике и его применением к решению прикладных задач) математические методы могут быть полезным инструментом, в частности для градостроительства [1].

Тем не менее, несмотря на попытки математизировать архитектурное проектирование, проникновение математики в него до сих пор довольно локально, а некоторые методы (например, методы дискретной математики) еще только ищут свое место в архитектурной системе. Почему это происходит? С какими трудностями раз от раза сталкиваются исследователи и разработчики? Этой проблеме, а также возможным вариантам ее решения и посвящена статья.

Проведенное авторами исследование [5], частью которого был анализ источников, посвященных математическим методам в архитектуре (Авдотьина [1], Фридмана [12], Пронина [10], Фирсова [11] и др.), позволило выявить и сформулировать комплекс проблем, возникающих при попытках ввести математические методы в архитектуру.

Проблема №1. В архитектурной науке к настоящему времени не сложились условия, необходимые для ее математизации с последующим переходом выработанных методов на уровень архитектурного проектирования. Внедрение математических методов в сферу архитектурного проектирования невозможно без их первоначальной переработки архитектурной наукой. Первое условие математизации – обобщение достигнутого и выделение некоторого количества основных положений (аксиом), которые содержали бы точное описание взаимосвязей между элементарными понятиями и служили бы определениями этих понятий. Второе условие – каждое утверждение науки должно вытекать из ее аксиом. Вследствие относительной молодости архитектурной науки и ее довольно «рыхлой» синтетичности, эти условия в настоящий момент не выполняются. В качестве примера можно привести работу О. Бюттнера и Э. Хампе [3], посвященную несущим конструкциям и структурам. Пытаясь дать определение этим понятиям, авторы анализируют высказывания известных специалистов и приходят к следующим выводам: «В прошедшие века в строительстве сформировались многочисленные названия, понятия и определения, восходящие своими корнями к другим отраслям человеческой деятельности. Эта терминология, создание которой происходило порой с различных профессиональных позиций и с разной степенью точности того или иного определения, со временем прочно вошла в лексикон инженера и архитектора, хотя отдельные понятия зачастую не имели четких смысловых границ, а иногда один и тот же термин в зависимости от контекста мог обладать даже совершенно противоположным значением. В последние годы систематизация терминологии в строительстве приобрела большое значение в связи с развитием различных теорий и методов проектирования. Возникновение теории моделирования, теории решений и теории систем потребовало создания научной и логически целостной системы понятий» [3, с.17]. В СССР книга вышла в 1983 году, но проблема разработки научной системы понятий до сих пор остается актуальной.

Тем не менее отдельные области архитектурной науки поддаются относительной формализации и впоследствии их методы находят применение в архитектурном проектировании. В основном это делается на базе конкретного математического метода, под который формулируются аксиомы и базовые понятия, как было, например, при разработке системы «Квартирограф» И. Фридмана [12], основанной на теории графов.

Проблема №2. Между архитектурой и математикой существует языковой («концептуальный») барьер. Как правило, взаимодействие архитекторов и математиков сильно затруднено уже на первом этапе совместной работы, когда формулируется цель исследования, определяются задачи и методы. Почему это происходит?

Сопоставление математических и архитектурных терминов с соблюдением условий смысловой «однородности», омонимичности и значимости для дисциплин показывает, что параллели между ними действительно существуют. Проблема, однако, заключается в том, что, во-первых, строгое определение термина не исчерпывает всей информационной емкости понятия (по В.В. Налимову) [8], поэтому необходимо знать все концепции, которые с ним связаны. Это позволяет определить раздел математики и методы, необходимые для последующего моделирования. Во-вторых, математика и архитектура предполагают разные уровни абстракции.

Пример такого разночтения можно обнаружить в книге известного советского архитектора А.И. Гегелло «Из творческого опыта: Возникновение и развитие творческого замысла» [4]. Описывая систему пропорций, спонтанно возникшую при проектировании изолятора одной из больниц Ленинграда, он употребляет термин «простые числа». Однако для математика необходимость применения данного термина здесь неочевидна, поскольку в математике «простое» число – это число, которое делится нацело только на единицу и на само себя. Из текста этого не видно, поскольку автор вкладывает в данный термин иной смысл, отличный от математического. Также автор сообщает нам о восьми процентах отклонения от абсолютного модуля, получившегося у него из-за того, что система пропорций не была обдумана заранее. В масштабе проекта в целом эти восемь процентов не являются большой погрешностью. Тем не менее понимание дискретности у архитектора и у математика в данном случае будет различным, поскольку для математика отклонение в восемь процентов недопустимо при постулировании дискретности и целочисленности.

В-третьих, существует проблема понимания математического текста, содержащего формулы, поскольку для этого необходимо затратить усилия на его «дешифровку», проверку на доказуемость и усвоение необходимых абстракций.

Проблема №3. Архитекторы и математики работают в разных диапазонах абстракции (эти диапазоны перекрываются, что дает шанс на взаимопонимание). Сами математики говорят о своей науке, что это «поиск аналогий среди аналогий», т.е. указывают на высокую степень абстрагирования математических моделей от реальных процессов, которые они моделируют. Мышление же архитектора акцентируется на конкретности материала и конструкций. Проблема состоит в возникновении трудностей при переходе от конкретики архитектурной задачи к математической модели и наоборот.

В качестве первого примера приведем ситуацию, сложившуюся вокруг Парфенона и теории пропорций. Существует целый круг работ по архитектурному пропорционированию, в которых важное место занимает исследование системы его пропорций.

Однако А. К. Буров в своей книге «Об архитектуре», описывая Парфенон, говорит о нем как о «необычайном сооружении архитектуры, не имеющем ни одной вертикали и ни одной горизонтали, сооружении, в котором все сделано наклонно, конкавно и конвексно – для того, чтобы казаться прямым и вертикальным» [2, с. 14]. Таким образом, исследователи при составлении пропорциональных систем создают весьма приближенные, а не точные математические модели, поскольку первое приближение они совершают уже на начальном этапе исследования при обмерах памятника, вследствие несовершенства измерительных приборов и методик.

Второй пример касается разработки и расчета форм оболочек. Курт Зигель в книге «Структура и форма в современной архитектуре» пишет об оболочковых конструкциях: «Тектоническая форма подчиняется другим, не только геометрическим законам. Часто упоминаемая кривая давления не всегда является параболой. Хотя она и похожа на нее, но лишь в редких случаях ей тождественна. Кривая давления меняется в зависимости от нагрузки. Элементарная геометрия окружности, цилиндра и шара имела, с точки зрения строительства и математической постигаемости, большое значение, но она не была связана с несущей способностью оболочек» [7, с. 234]. Расчет «произвольной формы» (оболочки), если эта форма тектонична, а не скульптурна (как капелла в Роншане Ле Корбюзье), требует более сложных методов расчета, чем оболочка простой геометрической формы. Современное программное обеспечение позволяет эти расчеты сделать. Проблема не столько в расчетах, сколько в реализации оболочки в натуре, т.е. в переводе математической модели в материал, связанном с трудностями строительного производства работ, которые не рассчитываются конструкторской программой.

Таковы основные проблемы интеграции математических методов в архитектурное проектирование. Решение их довольно затруднительно, поскольку мы не можем ускорить развитие архитектурной науки только лишь принятием декрета об ускорении ее развития. Тем не менее решение есть. В работе «Математические методы и модели в архитектуре (на примере учебного архитектурного проектирования)» введено понятие «архитектурная математика» [5]. Что это такое? Образовалась достаточно устойчивая область взаимодействия архитектуры и математики. Она обладает довольно четкой структурой: определенный круг задач градостроительства и объемной архитектуры, для решения которых использованы определенные математические методы (пусть и разрозненные). В настоящий момент общепринятого термина «архитектурная математика» и одноименной дисциплины, которая включала бы в себя всю совокупность разрабатываемых методов, не существует. Однако создание подобной дисциплины позволило бы осмысленно и комплексно работать над решением сформулированных ранее проблем интеграции математики и архитектуры.

При этом авторы полагают, что первые шаги по разработке архитектурной математики необходимо начинать не с выделения ее в отдельную область архитектурной науки, а с введения в курс обучения архитекторов в качестве учебной дисциплины. Это позволило бы сформировать у будущих архитекторов понимание места математических методов в системе архитектурного проектирования, отработать первичные модели диалога архитектуры и математики на уровне введения в специальность, подготовить тех, кто будет в дальнейшем участвовать в создании «большой» архитектурной математики.

Разработки в этом направлении ведутся, в частности А.И. Фирсовым [11], предложившим программу факультативного спецкурса-семинара «Избранные главы математики для архитекторов» для Московского архитектурно-художественного института.

Авторы статьи предполагают развивать подобный подход. Однако сформулированные ранее проблемы математизации архитектурного проектирования показывают, что прямое заимствование математических методов и терминологии невозможно. Соответственно, невозможно использование традиционных методик преподавания математики. Перед нами встают три важных вопроса: чему и зачем учить? что необходимо для реализации концепции дисциплины? какова методика преподавания?

1. Введение в процесс обучения математических элементов позволит студенту освоить эффективные методики, дающие возможность сократить время на верификацию результатов проектирования, нахождение интересных композиционных решений и т.д. «Игра в проектирование», введение кажущихся парадоксальными с точки зрения профессионального архитектора параметров модели, их «надуманность» позволяет не только показать действенность математических инструментов, но и выйти за пределы конкретики, натренировать профессиональную интуицию [5]. Занятия математикой структурируют мышление, учат переносить свойства одного объекта на другой (аналогии) и распознавать ситуации, когда такой перенос невозможен. Это тот самый компонент неявного знания [5], который в силу неявности не всегда осознается. И поэтому не всегда правильно оценивается тот вклад, который вносится в процесс обучения архитектора.

2. Условия для реализации концепции дисциплины вытекают из проблем математизации архитектурного проектирования. Первым необходимым условием является разработка архитектурно-математического словаря, включающего в себя и такие «базовые» термины как «точка», «линия», «плоскость», «пространство» и пр., вторым – отбор математических методов и разработка модельных задач на архитектурной основе. Архитектурно-математический словарь поможет преодолеть «концептуальный» барьер между дисциплинами и найти те области, в которых диапазоны абстракции математики и архитектурного проектирования перекрываются. Отбор математических методов позволит пополнить список традиционных методов. В частности, познакомить студентов с методами дискретной математики, например – с теорией графов. Разработка модельных задач на архитектурной основе необходима не только для наглядности материала, но и для того, чтобы показать разницу между архитектурным взглядом на математику и математическим – на архитектуру.

3. Прототипами для разработки методики преподавания дисциплины «Архитектурная математика» могут послужить три подхода, взаимно дополняющие друг друга: принцип изложения материала, связанный с именем древнегреческого математика Диофанта; педагогический принцип Дж. Пойа, предложенный в книге «Математическое открытие»; и подход математиков-прикладников, работающих в междисциплинарных сферах.

Труды Диофанта, в отличие от трудов Евклида, являются не последовательным изложением аксиоматической теории, а набором примеров и задач, в решении которых он излагает свои идеи, методы и гипотезы. То есть, решая задачи, в которые встроены диофантовы положения, человек исподволь, в комплексе, овладевает материалом [5].

По аналогии с подходом математиков, работающих в междисциплинарных областях, в частности, подходом В.Ф. Зайцева [6], мы предлагаем внедрение в процесс обучения архитектора несложных модельных задач, преподавание элементарных методик, не только математических, но и логических, которые не умаляют значение «творческого полета», но позволяют обосновать некие интуитивно возникшие решения. С этим созвучен принцип, предложенный Пойа, который звучит как «одна четверть математики, три четверти здравого смысла» [9], это дает необходимую конкретику в рамках предложенной модели.

Создание архитектурной математики не даст мгновенного решения проблем, возникающих при интеграции математических методов в архитектурное проектирование. Однако ее разработка поможет подготовить почву для того, чтобы условия, необходимые для математизации, сложились; даст будущим архитекторам системное представление о месте математических методов в архитектурном проектировании, новые интересные инструменты, которые они будут использовать в проектной деятельности; и избавит их от «аллергических реакций» на формулы.

Титов С.С., Горнева О.С. ПРОБЛЕМЫ ИНТЕГРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В АРХИТЕКТУРНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ [Электронный ресурс] /С.С. Титов, О.С. Горнева //Архитектон: известия вузов. — 2013. — №1(41). — URL: ссылка