Архитектон: известия вузов. №3 (15) Сентябрь, 2006

Теория архитектуры

ТЕОРИЯ ПРОПОРЦИЙ В АРХИТЕКТУРЕ

Аннотация

Художественный эффект классических симметричных композиций возникает благодаря верно построенному модулю. Люди беспокойно реагируют на здания, которые кажутся им несбалансированными или с тяжёлым верхом. И не потому, что они могут на нас обрушиться, а потому, что мысленно люди как бы проецируют себя на здание, сопоставляют своё собственное тело с телом здания. Наши мускулы болят, когда виден тяжёлый карниз, наши мышцы напрягаются в сочувствии, когда обнаруживается неравновесие в архитектурной композиции. Это так называемый бессознательный миметический инстинкт заставляет нас уподоблять самих себя кажущемуся весу, давлению, сопротивлению, представленному в формах, которые видим, т.е., другими словами, возникает понятие «вживаемости» в строение здания.

С понятием относительного равенства сопряжено представление о геометрической закономерности, если его можно разделить без остатка на равные части относительно некоторого геометрического признака, например, способа построения. Запись геометрической закономерности может быть осуществлена в виде числа или формулы.

Различные теории пропорций сопровождали архитектуру на всех этапах её истории. Суть всех концепций пропорций – в установлении закономерной упорядоченности, которая способна привести композицию к гармонии и единству. Представление о любой закономерности, числовой или геометрической, входит в понятие симметрии. Опираясь на понятие геометрической закономерности, мы можем построить свою концепцию «динамической» симметрии. За основу статической симметрии выбираются правильные геометрические фигуры. Известно, что отношение их сторон представлены рациональными числами, а иррациональные отношения их элементов строятся на диагонали квадрата (V^–2 ) и его стороне (равной единице). Так строится прямоугольник с площадью V^–2. Затем на диагонали  и стороне исходного квадрата строится прямоугольник V^–3 и т.д. (рис.1).

Рис.1.  Динамические прямоугольники

Это построение может быть продолжено до бесконечности.

Площадь прямоугольника V^–5  служит основой наилучшего варианта динамической симметрии.

Таким образом, представление о геометрической закономерности подводит нас к понятию архитектурной симметрии, которая базируется на частном  понятии математических преобразований. Этот момент особенно важен, он помогает развить смысловую общность между представлением о симметричной закономерности и привычным пониманием категорий архитектурной композиции равенства, подобия, пропорций и т.д.

Теория архитектурного проектирования во все времена имеет большое значение. Например,  при определении высот сводчатых помещений применяют лишь арифметические, геометрические и средние пропорции. Напомним, как определяются эти средние. Последовательность чисел а₁, а₂, а₃, а₄ … названа арифметической прогрессией, если разность между любым числом и следующим за ним постоянна: а₂ – а₁ = а₃ – а₂ = а₄ – а₃ = … . Например, числа 1, 3, 5, 7, 9 … образуют арифметическую прогрессию. В любой арифметической прогрессии а₁ + а₃ = 2а₂, а₂ + а₄ = 2а₃,…и т.д. То есть, другими словами, каждое число равно полусумме соседних чисел. Каждый член арифметической прогрессии называется средним арифметическим соседних чисел. Таким образом получаем правило для вычисления среднего арифметического двузначных чисел а и b, которое равно: (a+b)/2 .

Если последовательность чисел а₁, а₂, а₃, а₄ … обладает тем свойством, что отношение любого члена последовательности к предыдущему постоянно: а₂/а₁ = а₃/а₂ = а₄/а₃ …, то такая последовательность называется геометрической прогрессией. В этом случае а₁ × а₃ = (а₂)², а₂ × а₄ = (а₃)², … поэтому каждый член геометрической прогрессии равен квадратному корню из произведения двух соседних чисел и среднее геометрическое двух заданных чисел а и b вычисляется по формуле V^–ab .

Последовательность чисел а₁, а₂, а₃, а₄ …называется гармонической прогрессией, если последовательность чисел, обратных данным 1/а₁, 1/а₂,1/а₃, … образует арифметическую прогрессию. Любой член такой последовательности называется средним гармоническим двух соседних членов, поэтому, для того, чтобы найти среднее гармоническое двух заданных чисел а и b, сначала находим среднее арифметическое обратных им чисел, а затем число, обратное этому среднему. Таким образом, среднее гармоническое равно: 2ab/(a+b).

Пифагор был первым, кто заметил, что высота тона, издаваемого натянутой струной, обычно пропорциональна длине струны. Если дёрнуть натянутую струну, а затем прижать пальцем середину и снова дёрнуть, то тон, издаваемый струной во второй раз, будет на октаву выше, чем в первый. Если прижать струну и заставить колебаться лишь треть её первоначальной длины, то частота издаваемого ею тона будет втрое больше основной частоты. Отсюда ясно, сколь важное значение имеет гармоническая последовательность, образуемая числами, обратными членами некоторой арифметической прогрессии. Разумеется, простейшая из гармонических последовательностей имеет вид 1, 1/2, 1/3, 1/4, …

Другая теория архитектурного проектирования строится на основе   двойного квадрата.

Два квадрата, сложенные вместе, образуют двойной квадрат. Сложив два двойных квадрата, получим квадрат, повторяющий своими очертаниями исходный квадрат. Это простое аддитивное свойство квадрата широко использовалось в архитектуре эпохи Возрождения.

После Bозрождения предпринимались попытки доказать, что архитекторы этой замечательной эпохи, никогда не использовали несоизмеримых пропорций, т. е. пропорций, не представимых в виде отношения двух чисел. Но даже Витрувий отстаивал использование прямоугольников с отношением сторон, равным V^–2, и, несомненно, именно по этой причине Палладио в 1570 году включил прямоугольник с отношением сторон, равным V^–2, в список семи форм, рекомендуемых для планировки комнат.

Использование восьмиугольных звезд в архитектурных конструкциях не вызывает никаких сомнений. Автором этого проекта является Леонардо да Винчи. Разбиение окружности на 8 равных частей порождает угол в 45°, а равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами имеет острые углы в 45° и гипотенузу, равнуюV^–2 , поэтому восьмиконечная звезда заведомо приводит к появлению иррациональных чисел.

«Золотое сечение» было известно архитекторам Возрождения, но они не использовали его достаточно эффективно как инструмент получения пропорций.  «Золотое сечение» Лука Пачоли называл божественной пропорцией. Термин «золотое сечение» возник в Германии в первой половине XIX в. и определяется формулой
m=(1+V^–5)/2

Рис. 2. Различные формы

Следует помнить, что тайна гармоничных пропорций кроется не в отдельных формах, а в отношениях между ними.

Рассмотрим прямоугольник (рис. 2), разделенный на два прямоугольника прямой, параллельной двум сторонам.

Сравним форму исходного прямоугольника с формой двух образующих его прямоугольников. В общем случае формы всех трех прямоугольников различны, но одну из форм можно исключить. На рисунке 3 один из меньших прямоугольников подобен исходному.

Рис. 3. Подобные формы

Стороны исходного прямоугольника равны х² и х, отношение сторон равно х, а прямая, разбивающая его на две части, проходит на расстоянии 1 от края. Отношение сторон меньшего прямоугольника также равно х:1=х, поэтому при любом х он подобен исходному. Заметим, что диагонали, изображенные на рисунке 3 пунктиром, взаимно перпендикулярны. На рисунке 3  m=(1+V^–5)/2– золотое сечение

Рассмотрим стороны исходного прямоугольника, равные х²+1 и х (рис. 4). Прямая, разбивающая его на две части, вновь проходит на расстоянии 1 от края.

Оба меньших прямоугольника подобны друг другу, отношения сторон в каждом из них равно х:1=х, но они не обязательно подобны исходному прямоугольнику.

Рис. 4. Другие подобные формы

На рисунке 5 стороны исходного прямоугольника равны 2х и 1, прямая, разбивающая его на две части, проходит через середины больших сторон, поэтому оба меньших прямоугольника совершенно одинаковы.

Рис. 5. Две формы

Две из трех форм прямоугольников, изображенные на рисунках 3-5, можно исключить, т. к. для них можно записать соотношение 1/x=(x²-1)/x , из которого получается уравнение х²=2. Если положить х=V^–2 , то рисунок 3 переходит в рисунок 6, на котором все три

Рис. 6. Одна форма

прямоугольника имеют одну и ту же форму, изображенные пунктиром диагонали меньших прямоугольников перпендикулярны пунктирной диагонали исходного прямоугольника.

Рис. 7. Девять форм

Продолжим изучение простых форм и рассмотрим прямоугольник, разделенный двумя прямыми, параллельными большей и меньшей сторонам (рис. 7).

На рисунке 7 имеется 9 прямоугольников различной формы. На рисунке 8 одна из прямых проходит через середины параллельных сторон исходного прямоугольника, и это понижает число различных форм с 9 до 6.

Рис. 8. Шесть форм

Рис. 9. Три подобные формы

Рис. 10. Другие соотношения

При дальнейшем рассмотрении задачи об уменьшении числа различных форм выясняется, что существуют три варианта (рис. 11), где число различных форм понижается до трех. Эти случаи показаны на рисунках 9-11. При проверке подобия форм полезно пользоваться тем, что золотое сечение удовлетворяет уравнению 1+m=m².

Рис. 11. Подобные формы исходного квадрата

Может быть еще один случай, где не существует горизонтальной и вертикальной осей симметрии, а имеется лишь одна диагональная ось симметрии. Исходный прямоугольник имеет форму квадрата (рис. 11).

На рисунке 11 изображено три квадрата и 6 прямоугольников: два с отношением сторон 1+m=m² и четыре с отношением сторон m. Таким образом, здесь имеется всего три различные формы прямоугольников.

Рассмотрим геометрическую прогрессию

1, m, m², m³, m⁴, m⁵, ..., mⁿ,…

поскольку                    m³ =  m + m² = m + (1 + m) = 2m + 1

                                     m⁴ = 2m² + m = 3m + 2

                                      m³ = 3m² + 2m = 5m + 3

и т. д., то из соотношения m = m^n-1 + m^n-2 не трудно установить, что коэффициенты при m образуют последовательность целых чисел:

         1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …,

n-й член которой связан с предыдущим соотношением

         u_n = u_n-1 + u_n-2

Этот набор чисел известен под названием чисел Фибоначчи.

Ссылка для цитирования статьи

Бабич В.Н. ТЕОРИЯ ПРОПОРЦИЙ В АРХИТЕКТУРЕ [Электронный ресурс] /В.Н. Бабич //Архитектон: известия вузов. – 2006. – №3(15). – URL: http://archvuz.ru/2006_3/20 

Лицензия Creative Commons
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons "Attrubution-ShareALike" ("Атрибуция - на тех же условиях"). 4.0 Всемирная