Архитектон: известия вузов. №4 (16) Декабрь, 2006

Теория архитектуры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦВЕТОВ В СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТАХ

Аннотация

Нам известны пять типов сетей: U, D, Q, T, S для построения орнаментов на основе ячеек, сохраняющих свои размеры неизменными [1, с. 210-211].

Нашей задачей является раскраска бесконечной плоскости, покрытой одной из таких сетей. Элементарным действием в этом опыте является раскраска одного мотива, созданного на основе многоугольной ячейки. Мотив, как составляющий элемент замкнутой проекционной системы, сам представляет собой замкнутый участок плоскости. Кривые линии, образующие границу мотива, тоже обладают этим свойством. Их количество может изменяться от двух до четырёх пар. Каждая кривая линия совершает либо поворот, либо отражение, либо их комбинацию, поэтому она имеет свою пару (так называемый дубликат). Построение одного мотива в сети с цветоактивными осями записывается как: р/f + q/g + г/ h =1, где f, g, h – номера порядков осей симметрии (могут принимать значения: 2; 3; 4; 6 – в зависимости от типа сети): р, q, r – параметры цветоактивности этих осей(являются решениями уравнения и могут быть равны: 1; 2; 3; 4 [1, с. 215]. В некоторых орнаментах используется операция отражения от зеркала m, тогда слагаемое в этом уравнении будет – m/2. В том случае, если кривая линия поворачивается и отражается одновременно, то это комбинированное действие записывается как произведение, например: m/2 • р/f.

 

Рис.1а	Рис.1б
Рис.1в	Рис.1г

 

Рассмотрим алгоритм создания мотива на основе прямоугольной ячейки в сети U (рис. 1):

а) нарисуем кривую, имеющую начало и конец в вершинах прямоугольника; выполним поворот относительно оси второго порядка – получим её дубликат; запишем действие как: р/2

б) дубликат отразим в зеркале m, проходящем через его вершины; это комбинированное действие запишем как произведение: m/2 • р/2

в) выполним аналогичную комбинацию поворота и отражения с другой кривой; запишем действие: m/2 • q/2

г) объединим обе кривые и получим результат – мотив; его создание запишем как сумму: m/2 • р/2 + m/2 • q/2

На рисунке 2 показано заполнение плоскости мотивами. Появляются новые оси второго порядка, относительно которых мотивы поворачиваются на 180° .

При обходе вокруг выхода оси второго порядка поворот совершают два мотива и две различные кривые, происходит двойное чередование различных цветов. Значит, квантовое число р = 2, также как и второе число q = 2.

Таким образом, мы получаем уравнение для построения орнамента с исходным мотивом: 2/2 • m/2 + 2/2 • m/2 = 1.

Далее перейдем к построению схемы. Форма кривой была выбрана произвольно, главное – зафиксировать её начало, конец, установить ей условие: не пересекаться самой с собой, со своим дубликатом и с другой кривой. Поэтому на схеме не будем изображать кривые линии, а только: оси поворота (цифрой, означающей порядок поворота), зеркала, начала, концы кривых (в виде колечек разного цвета), оптимальную площадь ячейки (в форме многоугольника).
 

Рис.2 
 

Рис. 3

Таким образом задаётся схема ячейки, на основе которой получается определённый вид плоского орнамента для любой сети, в т. ч. для сети U (рис. 3).

Действуя по указанному выше алгоритму, можно выполнить анализ готового орнамента, построенного на любой из пяти известных сетей.  Но для того, чтобы построить орнамент на основе алгебраической информации, не имея перед глазами рисунка, необходимо уяснить смысл параметров цветоактивности осей симметрии. Тогда результат решения уравнения наглядным образом укажет способ построения мотива и поможет разобраться, как параметры цветоактивности связаны с нахождением количества цветов для раскраски определённого орнамента.

 С этой целью проведём сравнение трёх орнаментов, например, на основе сети S.

 

р/6 + q/6 + r/6 = 1	2/6 + 2/6 + 2/6 = 1

 Рис. 4
На рисунке 4 выполнено построение одного мотива с использованием трёх кривых, совершающих повороты 6-го порядка. Записанное уравнение имеет три решения: (2; 2; 2), (1; 2; 3), (1; 1; 4). Для выбора правильного решения обратимся к графическому заполнению плоскости мотивами. Мотивы совершают повороты 3-го порядка относительно осей 6-го порядка, причём происходит тройное чередование цветов в этих центрах (рис. 5). Мы видим необходимость и достаточность появления двух цветов. Выбираем первое решение – оно позволяет предположить, что параметры цветоактивности отвечают за чередование цветов и перемещение мотива одного определённого цвета: мотив совершает повороты не 6-го, а 3-го порядка, т. е. в 2 раза меньшего (6 : 2 = 3).

 

Рис.5. p/6 + q/6 = 1		2/6 + 4/6 = 1

 

Мотив, построенный из двух кривых, совершающих повороты 6-го порядка, сам перемещается, поворачиваясь на 120° (рис.6). Когда мотив приобретает цвет, становится ясным, что двух цветов для раскраски всего орнамента недостаточно, иначе происходят разрывы при заполнении плоскости цветом.


Рис.6                                                    3/6 + 3/6 = 1
 

Выполнив графические построения и решив уравнение, мы убеждаемся в том, что заливка тремя цветами происходит двумя различными способами: в одном случае мотив одного цвета заполняет плоскость, совершая повороты 2-го порядка (6 : 3 = 2), это действие записывается как: 3/6 + 3/6 = 1; в другом случае цвет чередуется относительно одной оси 6-го порядка три раза (6 : 2 = 3), относительно другой оси 6-го порядка тоже три раза, но с повторением иных цветов. Поэтому для второго орнамента будет верным второе решение уравнения: 2/6 + 4/6 = 1. Этот пример убеждает в истинности сделанного ранее предположения о том, что параметры цветоактивности несут информацию о перемещении «цвета» (или о его иерархии).

Рассмотрим следующий пример, в котором, кроме перемещения цвета, обратим внимание на дальнейшее увеличение количества цветов.

	p/2+ q/3 + r/6 = 1

Рис.7                                              ½ + 1/3 + 1/6 = 1
 

На рисунке 7 представлен орнамент, интересный тем, что он составлен из мотивов, образующихся тремя кривыми, совершающими различные повороты: на 60°, 120° и 180°.

 Во-первых, подобное разнообразие осей поворота усложняет построение самого мотива. Окончания кривых линий находятся в осях 2-го и 6-го порядков. Они лежат на одной прямой, из центра симметрии 3-го порядка проведён луч под углом 60° к этой прямой. В точке их пересечения замыкаются две кривые: одна, имеющая начало в центре 3-го порядка, другая – во 2-м. Как происходит дальнейшее построение мотива, наглядно видно на рисунке.

Во-вторых, для раскраски плоскости не хватает трёх цветов, т. к. создаются разрывы, состоящие из трёх мотивов, каждый из которых не может повторить уже имеющиеся три цвета, чтобы не слиться с ними и не потерять свою границу.

Уравнение, составленное при построении мотива, имеет только одно решение:
(1; 1; 1). Такие параметры не изменяют порядок цветоактивных осей по отношению к геометрическим осям, использовавшимся при построении границ мотива: 2, 3, 6. Соответственно, мотив одного цвета будет совершать только перемещения. Равенство трёх параметров цветоактивности единице соответствует простой операции «трансляции цвета»! На схеме показан вектор перемещения мотива одного цвета.

Совершая обход по окружности вокруг оси 6-го порядка, мы видим необходимость раскраски в 6 цветов. Цветоактивность оси максимальна и равна порядку геометрической оси – об этом свидетельствуют параметры цветоактивности, равные единице.

Эти несколько частных примеров, подтверждают гипотезу, что параметры цветоактивности показывают взаимодействие геометрической и цветоактивной осей симметрии, а точнее - отношение их порядков друг к другу. Параметры дают возможность вычисления количества цветов на этапе построения схемы мотива и составления уравнения.

Графоаналитический метод сыграл огромную роль в данном исследовании. Было построено 18 двуцветных, 10 трёхцветных, 10 четырёхцветных и 1 шестицветная мозаики. Ко всем этим примерам были составлены уравнения, подтверждающие, что количество цветов определяется параметрами цветоактивности.

Как перейти от известного уравнения к формуле для определения количества цветов?

 Обратимся к логическим рассуждениям теории вероятностей. Элементарное событие в опыте раскраски плоского орнамента – раскраска и перемещение мотива одного цвета задаётся уравнением p/f + q/g + r/h = 1. Общее число элементарных событий – есть количество мотивов, различающихся по цвету.

Обозначим это количество как модуль N. Все сетчатые орнаменты имеют инвариантную структуру, т. е. мотив, построенный на основе одной ячейки, не изменяет свои размеры, форму и преобразования в осях симметрии. Значит, сетчатый орнамент обладает свойством равновозможности для совершения элементарных событий. Тогда количество цветов С для раскраски будет определяться по формуле:
С = (p/k + q/1 + r/n ) • N.

Цвет является качественной характеристикой мотива, которая остаётся неизменной при перемещении мотива на плоскости. Соответственно, его значение определяется порядками геометрических и цветоактивных осей. На основании проведённых графоаналитических исследований можно сделать вывод, что модуль N принимает следующие значения:

- если все параметры р = 1, q = 1, r = 1, то модуль N равен наибольшему из порядков геометрических осей в этой сети;

- если только один параметр р = 1 или q = 1, или г = 1, то N = f или N = g, или N = h соответственно;

- если ни один из параметров р, q, r не равен единице, то модуль равен среднеарифметическому этих параметров: N = (p + q + r) : n, где n – количество кривых линий (равное количеству параметров цветоактивности).

Итак, на основании алгоритма, полученного в ходе графоаналитических исследований, доказана возможность прогнозировать количество цветов для раскраски орнаментов в сетях U, Q, D, T, S, имея информацию о построении мотива. Количество цветов С принимает значения: 2, 3, 4 или 6. Следовательно, плоский орнамент может быть раскрашен не более чем в 6 цветов.

Группы преобразований с применением цветной симметрии расширяют возможности исследовательских методов и служат предпосылкой для художественного творчества.

Библиография

1. Бабич В. Н. Графоаналитические основы и принципы инвариантности в архитектуре и дизайне. – Екатеринбург. 2003. – 225 с.

2. Левитин К. Е. Геометрическая рапсодия. – М.: Знание, 1984. – 176 с.

Ссылка для цитирования статьи

Чигинцева О.Н. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦВЕТОВ В СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТАХ [Электронный ресурс] /О.Н. Чигинцева //Архитектон: известия вузов. – 2006. – №4(16). – URL: http://archvuz.ru/2006_4/10 

Лицензия Creative Commons
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons "Attrubution-ShareALike" ("Атрибуция - на тех же условиях"). 4.0 Всемирная